Multiplikation

Sei ${\displaystyle C=AB}$ das Produkt der Matrizen ${\displaystyle A}$ vom Typ ${\displaystyle (m,n)}$ und ${\displaystyle B}$ vom Typ ${\displaystyle (n,p)}$. Das Produkt ist vom Typ ${\displaystyle (m,p)}$ und wird definiert durch

${\displaystyle c_{ij}:=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}.}$

• die Multiplikation von Matrizen ist im Allgemeinen nicht kommutativ
• ${\displaystyle (AB)C=A(BC)}$ (Assoziativgesetz)
• ${\displaystyle C(A+B)=CA+CB}$ (Rechts-Distributivgesetz)
• ${\displaystyle (A+B)C=AC+BC}$ (Links-Distributivgesetz)

Sei ${\displaystyle r}$ ein Skalar. Sei ${\displaystyle E}$ die Einheitsmatrix.

• ${\displaystyle rA=Ar}$
• ${\displaystyle r(AB)=(rA)B=A(rB)}$
• ${\displaystyle AE=EA=A}$

Determinanten

Seien ${\displaystyle A,B}$ vom Typ ${\displaystyle (n,n)}$.

• ${\displaystyle \det(rA)=r^{n}\det(A)}$
• ${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)}$
• ${\displaystyle \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}}$

Inverse Matrix

• ${\displaystyle A^{-1}A=AA^{-1}=E}$
• ${\displaystyle (A^{-1})^{-1}=A}$
• ${\displaystyle (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}}$

Transponierte Matrix

• ${\displaystyle (a_{ij})^{T}:=(a_{ji})}$
• ${\displaystyle (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}}$
• ${\displaystyle (AB)^{T}=B^{T}A^{T}}$
• ${\displaystyle (A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}}$
• ${\displaystyle (rA)^{T}=rA^{T}}$
• ${\displaystyle \det(A^{T})=\det(A)}$

Adjungierte Matrix

• ${\displaystyle (a_{ij})^{H}:=({\overline {a}}_{ji})}$
• ${\displaystyle (A+B)^{H}=A^{H}+B^{H}}$
• ${\displaystyle (AB)^{H}=B^{H}A^{H}}$
• ${\displaystyle (A^{-1})^{H}=(A^{H})^{-1}}$
• ${\displaystyle (rA)^{H}={\overline {r}}A^{H}}$
• ${\displaystyle \det(A^{H})={\overline {\det(A)}}}$

Konjugation

• ${\displaystyle {\overline {A}}:=({\overline {a}}_{ij})}$
• ${\displaystyle {\overline {A+B}}={\overline {A}}+{\overline {B}}}$
• ${\displaystyle {\overline {AB}}=({\overline {A}})({\overline {B}})}$
• ${\displaystyle \det({\overline {A}})={\overline {\det(A)}}}$
• ${\displaystyle A^{H}=({\overline {A}})^{T}={\overline {(A^{T})}}}$

Rotationsmatrizen

• ${\displaystyle R^{T}R=RR^{T}=E}$
• ${\displaystyle R^{-1}=R^{T}}$
• ${\displaystyle \det(R)=1}$

Sei ${\displaystyle R(\varphi ):={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{bmatrix}}.}$ Der Vektor ${\displaystyle v}$ wird mit ${\displaystyle R}$ gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Der neue Vektor ${\displaystyle v'}$ ist gegeben durch ${\displaystyle v'=Rv}$.

Diagonale Matrizen

${\displaystyle \mathrm {diag} (d_{1},d_{2}):={\begin{bmatrix}d_{1}&0\\0&d_{2}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \mathrm {diag} (d_{1},d_{2},d_{3}):={\begin{bmatrix}d_{1}&0&0\\0&d_{2}&0\\0&0&d_{3}\end{bmatrix}}}$

usw.

• ${\displaystyle \mathrm {diag} (d_{1},\ldots ,d_{n})^{-1}=\mathrm {diag} (d_{1}^{-1},\ldots ,d_{n}^{-1})}$
• ${\displaystyle \mathrm {diag} (d_{1},\ldots ,d_{n})^{r}=\mathrm {diag} (d_{1}^{r},\ldots ,d_{n}^{r})}$

Streichungsmatrizen

Sei ${\displaystyle [A]_{ij}}$ die Matrix, welche sich ergibt, wenn man von der Matrix ${\displaystyle A}$ die Zeile ${\displaystyle i}$ und die Spalte ${\displaystyle j}$ entfernt. Diese Matrix wird als Streichungsmatrix bezeichnet.

Die Zahlen ${\displaystyle M_{ij}:=\det([A]_{ij})}$ werden als Minoren der Matrix ${\displaystyle A}$ bezeichnet.

Die Kofaktoren von ${\displaystyle A}$ sind definiert durch

${\displaystyle \mathrm {cof} (A,i,j):=(-1)^{i+j}\det([A]_{ij}).}$

Die Matrix ${\displaystyle \mathrm {cof} (A)=(c_{ij})}$ mit ${\displaystyle c_{ij}=\mathrm {cof} (A,i,j)}$ wird als Kofaktormatrix der Matrix ${\displaystyle A}$ bezeichnet.

Die Adjunkte von ${\displaystyle A}$ ist definiert durch

${\displaystyle \mathrm {adj} (A):=\mathrm {cof} (A)^{T}.}$

Es gilt

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\mathrm {adj} (A).}$

Laplacescher Entwicklungssatz:

${\displaystyle \mathrm {det} (A)=\sum _{k=1}^{n}a_{kj}\mathrm {cof} (A,k,j)}$,

${\displaystyle \mathrm {det} (A)=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}\mathrm {cof} (A,i,k)}$.

Basismatrix

Darstellungsmatrix

Die Abbildung

${\displaystyle M_{B}^{A}\colon \,\operatorname {Hom} (V,W)\to K^{m\times n},\quad f\mapsto M_{B}^{A}(f)}$

ist ein Isomorphismus zwischen ${\displaystyle K}$-Vektorräumen.

Somit gilt:

1. ${\displaystyle M_{B}^{A}(f+g)=M_{B}^{A}(f)+M_{B}^{A}(g).}$
2. ${\displaystyle M_{B}^{A}(\lambda f)=\lambda M_{B}^{A}(f).\quad (\lambda \in K)}$
3. Zu jeder linearen Abbildung gehört genau eine Darstellungsmatrix.
4. Zu jeder Darstellungsmatrix gehört genau eine lineare Abbildung.
5. Die Vektorräume ${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)}$ und ${\displaystyle K^{m\times n}}$ sind isomorph.
6. Die Vektorräume ${\displaystyle \operatorname {Hom} (K^{n},K^{m})}$ und ${\displaystyle K^{m\times n}}$ sind isomorph.
7. ${\displaystyle m=\operatorname {dim} (W)}$ ist die Anzahl der Zeilen.
8. ${\displaystyle n=\operatorname {dim} (V)}$ ist die Anzahl der Spalten.

Transformationsmatrix

Eine Transformationsmatrix ist immer invertierbar und es gilt:

${\displaystyle T_{B'}^{B}=(T_{B}^{B'})^{-1}.}$

Werden die Basen ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle B'}$ durch Basismatrizen dargestellt, so gilt:

${\displaystyle T_{B'}^{B}=(B')^{-1}B.}$

Kürzungsregel:

${\displaystyle T_{B''}^{B'}T_{B'}^{B}=T_{B''}^{B}.}$

Basiswechsel

Seien ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle B'}$ Basen von ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle v\in V}$ ein Vektor. Ist ${\displaystyle v_{B}}$ die Koordinatendarstellung von ${\displaystyle v}$ bezüglich ${\displaystyle B}$, so gilt:

${\displaystyle v_{B'}=T_{B'}^{B}v_{B}.}$

Ist ${\displaystyle f\colon V\to V}$ ein Endomorphismus, so gilt:

${\displaystyle M_{B'}^{B'}(f)=T_{B'}^{B}\,M_{B}^{B}(f)\,T_{B}^{B'}.}$

Seien ${\displaystyle A,A'}$ Basen von ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle B,B'}$ Basen von ${\displaystyle W}$. Ist ${\displaystyle f\colon V\to W}$ eine lineare Abbildung, so gilt:

${\displaystyle M_{B'}^{A'}(f)=T_{B'}^{B}\,M_{B}^{A}(f)\,T_{A'}^{A}.}$