Definitionen

Gleichmächtigkeit ist eine Äquivalenzrelation.

Eine Menge ${\displaystyle M}$ heißt endlich, wenn ${\displaystyle |M|<|\mathbb {N} |}$ gilt.

Eine Menge ${\displaystyle M}$ heißt abzählbar unendlich, wenn ${\displaystyle |M|=|\mathbb {N} |}$ gilt.

Eine Menge ${\displaystyle M}$ heißt überabzählbar, wenn ${\displaystyle |\mathbb {N} |<|M|}$ gilt.

Eine Menge ${\displaystyle M}$ heißt unendlich, ${\displaystyle |\mathbb {N} |\leq |M|}$ gilt.

Eine Abzählung der Menge ${\displaystyle M}$ ist eine Surjektion ${\displaystyle \mathbb {N} \to M}$.

Gesetzmäßigkeiten

Reflexivität:

Es gilt ${\displaystyle |A|\leq |A|}$.

Transitivität:

Aus ${\displaystyle |A|\leq |B|}$ und ${\displaystyle |B|\leq |C|}$ folgt ${\displaystyle |A|\leq |C|}$.

Antisymmetrie (Satz von Cantor-Bernstein):

Aus ${\displaystyle |A|\leq |B|}$ und ${\displaystyle |B|\leq |A|}$ folgt ${\displaystyle |A|=|B|}$.

Totalität (Vergleichbarkeitssatz):

Es gilt ${\displaystyle |A|\leq |B|\lor |B|\leq |A|}$. Diese Aussage ist äquivalent zum Auswahlaxiom.

D. h.: Die Kardinalzahlen sind total geordnet bezüglich »Repräsentant der ersten Zahl ist höchstens gleichmächtig zu Repräsentant der zweiten Zahl«.

Bzw.: Die Kardinalzahlen sind steng total geordnet bezüglich »Repräsentant der ersten Zahl ist weniger mächtig als Repräsentant der zweiten Zahl«.

Hilberts Hotel.

Ist ${\displaystyle E}$ eine endliche Menge und ${\displaystyle A}$ unendlich, dann gilt ${\displaystyle |E\cup A|=|A|}$ und ${\displaystyle |A\setminus E|=|A|}$.

Reißverschlussargument.

Sind ${\displaystyle A,B}$ abzählbar unendlich, dann ist auch ${\displaystyle A\cup B}$ abzählbar unendlich.

Cantors erstes Diagonalargument.

Sind ${\displaystyle A,B}$ abzählbar unendlich, dann ist auch ${\displaystyle A\times B}$ abzählbar unendlich.

Cantors zweites Diagonalargument.

Es gilt ${\displaystyle |\mathbb {N} |<|2^{\mathbb {N} }|}$.

Satz von Cantor.

Es gilt ${\displaystyle |A|<|2^{A}|}$.

Kardinalität kartesischer Potenzen unendlicher Mengen.

Für unendliche Mengen gilt ${\displaystyle |A|=|A\times A|}$. Diese Aussage ist äquivalent zum Auswahlaxiom.

Es gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbb {N} |&=|\mathbb {Z} |=|\mathbb {Q} |<|2^{\mathbb {N} }|=|\mathbb {R} |=|\mathbb {C} |,\\|\mathbb {N} |&=|\mathbb {N} \times \mathbb {N} |=|\mathbb {Z} \times \mathbb {N} |=|\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} |.\\\end{aligned}}}$

Es gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbb {N} |&=|\mathbb {N} ^{n}|=|\mathbb {Z} ^{n}|,&&(n\geq 1)\\|\mathbb {R} |&=|\mathbb {R} ^{n}|.&&(n\geq 1)\end{aligned}}}$