Elementare Rechenregeln

Sind ${\displaystyle f,g}$ auf ${\displaystyle [a,b]}$ Riemann-integrierbar, so gilt:

${\displaystyle \int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x,}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}(f(x)-g(x))\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x-\int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x,}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}cf(x)\,\mathrm {d} x=c\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x,}$

${\displaystyle \int _{b}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x:=-\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x.}$

Für jede Funktion, die bei ${\displaystyle a}$ definiert ist, definiert man:

${\displaystyle \int _{a}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x:=0.}$

Partielle Integration

Sind ${\displaystyle F,g}$ zwei auf ${\displaystyle [a,b]}$ stetig differenzierbare Funktionen, so gilt:

${\displaystyle \int _{a}^{b}F'(x)\cdot g(x)\,\mathrm {d} x=[F(x)\cdot g(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}F(x)\cdot g'(x)\,\mathrm {d} x.}$

Substitutionsregel

Ist ${\displaystyle I}$ ein Intervall, ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$ stetig und ${\displaystyle g\colon [a,b]\to I}$ stetig differenzierbar, so gilt:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\,\mathrm {d} x=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\,\mathrm {d} u.}$

Bei einem Ausdruck der Form

${\displaystyle \int _{a}^{b}h(g(x),x)\,\mathrm {d} x}$

kann wie folgt vorgegangen weden.

Man substituiert ${\displaystyle u:=g(x)}$ und bestimmt ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}=g'(x)}$ bzw. ${\displaystyle \mathrm {d} x={\frac {\mathrm {d} u}{g'(x)}}}$. Nun gilt:

${\displaystyle \int _{a}^{b}h(g(x),x)\,\mathrm {d} x=\int _{g(a)}^{g(b)}{\frac {h(u,x)}{g'(x)}}\,\mathrm {d} u.}$

Auf »gut Glück« ergibt sich

${\displaystyle {\frac {h(u,x)}{g'(x)}}={\frac {f(u)\cdot g'(x)}{g'(x)}}=f(u).}$

Lineare Substitution

Nach der Substitutionsregel gilt:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(mx+n)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{m}}\int _{ma+n}^{mb+n}f(u)\,\mathrm {d} u.}$

Logarithmische Integration

Ist ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle [a,b]}$ differenzierbar und hat ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle [a,b]}$ keine Nullstellen, so gilt:

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,\mathrm {d} x=\ln |f(b)|-\ln |f(a)|}$.

Monotonie

Sind ${\displaystyle f,g}$ auf ${\displaystyle [a,b]}$ Riemann-integierbar und gilt ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in [a,b]}$, so muss auch

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x}$

sein. Ist ${\displaystyle g(x)\geq 0}$ für alle ${\displaystyle x}$, so gilt speziell

${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x\geq 0.}$

Universalsubstitution

${\displaystyle t:=\tan {\frac {x}{2}}}$

${\displaystyle \mathrm {d} x={\frac {2\,\mathrm {d} t}{1+t^{2}}}}$

${\displaystyle \sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}}}$

${\displaystyle \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}$

Die Universalsubstitution (Weierstraß-Substitution) kann bei Integralen der Form

${\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)\,\mathrm {d} x}$

angewendet werden, wobei ${\displaystyle R}$ eine rationale Funktion ist.

Spezialfälle

Integral der Form	Substitution
${\displaystyle \int R(\sin x)\cos(x)\,\mathrm {d} x}$	${\displaystyle t:=\sin x}$	${\displaystyle \mathrm {d} t=\cos(x)\,\mathrm {d} x}$
${\displaystyle \int R(\cos x)\sin(x)\,\mathrm {d} x}$	${\displaystyle t:=\cos x}$	${\displaystyle \mathrm {d} t=\sin(x)\,\mathrm {d} x}$

Mit ${\displaystyle R}$ ist eine rationale Funktion gemeint.