Für ${\displaystyle 0<|t|<2\pi \,}$ gilt ${\displaystyle {\frac {1}{e^{t}-1}}={\frac {1}{t}}-{\frac {1}{2}}+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {B_{k}}{k!}}\,t^{k-1}}$. Daher konvergiert

${\displaystyle F(z):={\frac {1}{\Gamma (z)}}\,\left[\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{e^{t}-1}}-{\frac {1}{t}}\right)\,t^{z-1}\,dt+{\frac {1}{z-1}}+\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{z-1}}{e^{t}-1}}\,dt\right]}$

für alle ${\displaystyle z\neq 1\,}$ mit ${\displaystyle {\text{Re}}(z)>0\,}$.

Und für ${\displaystyle {\text{Re}}(z)>1\,}$ ist ${\displaystyle \int _{0}^{1}-{\frac {1}{t}}\,t^{z-1}\,dt={\frac {-1}{z-1}}}$ und somit ${\displaystyle F(z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\,\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z-1}}{e^{t}-1}}\,dt=\zeta (z)}$.

${\displaystyle F\,}$ ist daher die holomorphe Fortsetzung von ${\displaystyle \zeta \,}$ für alle ${\displaystyle z\,}$ mit ${\displaystyle {\text{Re}}(z)>0\,}$.

Definiert man ${\displaystyle G(z)\,}$ als ${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}\left[\underbrace {\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{e^{t}-1}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{2}}\right)\,t^{z-1}\,dt} _{=:u(z)}-{\frac {1}{2z}}+\underbrace {\int _{1}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{t}-1}}-{\frac {1}{t}}\right)\,t^{z-1}\,dt} _{=:v(z)}\right]}$,

so konvergiert ${\displaystyle u\,}$ für ${\displaystyle -1<{\text{Re}}(z)\,}$ und ${\displaystyle v\,}$ für ${\displaystyle {\text{Re}}(z)<1\,}$. Also konvergiert ${\displaystyle G\,}$ für alle ${\displaystyle z\,}$ mit ${\displaystyle -1<{\text{Re}}(z)<1\,}$.

Da ${\displaystyle G\,}$ für alle ${\displaystyle z\,}$ mit ${\displaystyle 0<{\text{Re}}(z)<1\,}$ mit ${\displaystyle F=\zeta \,}$ übereinstimmt, ist ${\displaystyle G\,}$ für alle ${\displaystyle z\,}$ mit ${\displaystyle -1<{\text{Re}}(z)<0\,}$

die holomorphe Fortsetzung von ${\displaystyle \zeta \,}$. Für ${\displaystyle -1<{\text{Re}}(z)<0\,}$ lässt sich, wegen ${\displaystyle -{\frac {1}{2z}}=\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{2}}t^{z-1}\,dt}$,

${\displaystyle G(z)\,}$ schreiben als ${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}\,\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{t}-1}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{2}}\right)\,t^{z-1}\,dt}$.

Dabei ist ${\displaystyle {\frac {1}{e^{t}-1}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}\coth \left({\frac {t}{2}}\right)-{\frac {1}{t}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {t}{t^{2}+(2\pi n)^{2}}}-{\frac {1}{t}}=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t}{t^{2}+(2\pi n)^{2}}}}$.

Nach Substitution ${\displaystyle t\mapsto 2\pi nt}$ ist ${\displaystyle \zeta (z)=G(z)={\frac {2}{\Gamma (z)}}\,\int _{0}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2\pi nt}{(2\pi nt)^{2}+(2\pi n)^{2}}}\,(2\pi n\,t)^{z-1}\,2\pi n\,dt}$

${\displaystyle ={\frac {2}{\Gamma (z)}}\,\underbrace {\sum _{n=1}^{\infty }(2\pi n)^{z-1}} _{(2\pi )^{z-1}\,\zeta (1-z)}\cdot }$${\displaystyle \underbrace {\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{t^{2}+1}}\,dt} _{{\frac {\pi }{2}}\,\sec {\frac {\pi z}{2}}}}$, wobei ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\,\sec {\frac {\pi z}{2}}={\frac {\pi \sin {\frac {\pi z}{2}}}{\sin \pi z}}=\Gamma (z)\,\Gamma (1-z)\,\sin {\frac {\pi z}{2}}}$ ist.

Also ist ${\displaystyle \zeta (z)=2\,(2\pi )^{z-1}\,\zeta (1-z)\,\Gamma (1-z)\,\sin {\frac {\pi z}{2}}}$.

Die Funktion ${\displaystyle \xi (s)=\pi ^{-s/2}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\,\zeta (s)}$ besitzt an den Stellen ${\displaystyle s=0\,}$ und ${\displaystyle s=1\,}$ Pole

und an den Stellen ${\displaystyle s=-2,-4,-6,...\,}$ hebbare Definitionslücken.

${\displaystyle \lim _{s\to -2n}\xi (s)=2\pi ^{-n}\,{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\,\zeta '(-2n)}$

Sie kann daher als holomorphe Funktion auf ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$ fortgesetzt werden.

Ist ${\displaystyle {\text{Re}}(s)>1\,}$ und summiert man ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{s/2-1}\,e^{-n^{2}\pi t}\,dt={\frac {\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)}{(n^{2}\,\pi )^{s/2}}}}$

nach ${\displaystyle n\,}$ von ${\displaystyle 1\,}$ bis ${\displaystyle \infty \,}$, so erhält man

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{s/2-1}\underbrace {\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi t}} _{=:\psi (t)}\,dt=\pi ^{-s/2}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\,\zeta (s)=\xi (s)}$.

Dies lässt sich folgendermaßen aufspalten:

${\displaystyle \xi (s)=\int _{0}^{1}t^{s/2-1}\,\psi (t)\,dt+\int _{1}^{\infty }t^{s/2-1}\,\psi (t)\,dt\qquad \qquad (\star )}$

Die Jacobi-Thetafunktion ${\displaystyle \theta (x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-n^{2}\pi x}}$ kann mit Hilfe der Poissonschen Summationsformel

auch als ${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}\pi x}\,e^{2\pi int}\,dt=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,e^{-n^{2}\pi {\frac {1}{x}}}={\frac {1}{\sqrt {x}}}\,\theta \left({\frac {1}{x}}\right)}$ geschrieben werden.

Daraus folgt   ${\displaystyle 2\psi (x)+1={\frac {1}{\sqrt {x}}}\left(2\psi \left({\frac {1}{x}}\right)+1\right)}$

und somit    ${\displaystyle \psi (x)={\frac {1}{\sqrt {x}}}\,\psi \left({\frac {1}{x}}\right)+{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}-{\frac {1}{2}}}$.

Ersetzt man in der Gleichung ${\displaystyle (\star )}$ beim ersten Integral ${\displaystyle \psi (t)\,}$ durch diese Darstellung,

so lässt sich dieses erste Integral schreiben als

${\displaystyle \int _{0}^{1}t^{s/2-1}\,\left[{\frac {1}{\sqrt {t}}}\,\psi \left({\frac {1}{t}}\right)+{\frac {1}{2{\sqrt {t}}}}-{\frac {1}{2}}\right]\,dt}$,

und nach Substitution ${\displaystyle t\mapsto {\frac {1}{t}}}$ als

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }t^{1-s/2}\,\left[{\sqrt {t}}\,\psi (t)+{\frac {\sqrt {t}}{2}}-{\frac {1}{2}}\right]\,{\frac {dt}{t^{2}}}={\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{s}}+\int _{1}^{\infty }t^{-1/2-s/2}\,\psi (t)\,dt}$.

Also gilt ${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{s}}+\int _{1}^{\infty }\left(t^{-1/2-s/2}+t^{s/2-1}\right)\,\psi (t)\,dt}$ für ${\displaystyle {\text{Re}}(s)>1\,}$.

Letztes Integral konvergiert für alle ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$.

Daher muss der Ausdruck auf der rechten Seite ${\displaystyle \forall s\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$ die holomorphe Fortsetzung von ${\displaystyle \xi (s)\,}$ sein.

Anhand dieser Darstellung von ${\displaystyle \xi \,}$ erkennt man, dass ${\displaystyle \xi (1-s)=\xi (s)\,}$ sein muss.