Die Legendresche Verdopplungsformel ist der Spezialfall ${\displaystyle n=2\,}$

der Gaußschen Multiplikationsformel ${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\Gamma \left(z+{\frac {k}{n}}\right)={\sqrt {2\pi }}^{\,n-1}\,n^{{\frac {1}{2}}-nz}\,\Gamma (nz)}$.

Für ${\displaystyle {\text{Re}}(z)>0\,}$ ist ${\displaystyle B(z,z)=\int _{0}^{1}x^{z-1}\,(1-x)^{z-1}\,dx}$.

Dies ist nach Substitution ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1+x}{2}}}$ gleich ${\displaystyle \int _{-1}^{1}\left({\frac {1+x}{2}}\right)^{z-1}\,\left({\frac {1-x}{2}}\right)^{z-1}\,{\frac {dx}{2}}={\frac {1}{2^{2z-2}}}\,\int _{0}^{1}(1-x^{2})^{z-1}\,dx}$.

Substituiert man nun ${\displaystyle x\mapsto x^{\frac {1}{2}}}$, so ist ${\displaystyle B(z,z)={\frac {1}{2^{2z-1}}}\int _{0}^{1}(1-x)^{z-1}\,x^{{\frac {1}{2}}-1}\,dx={\frac {1}{2^{2z-1}}}\,B\left(z,{\frac {1}{2}}\right)}$.

Also ist ${\displaystyle {\frac {\Gamma ^{2}(z)}{\Gamma (2z)}}={\frac {1}{2^{2z-1}}}\,{\frac {\Gamma (z)\,\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}{\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)}}}$ und somit ${\displaystyle \Gamma (z)\,\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2z-1}}}\,\Gamma (2z)}$.

Die Gültigkeit der Identität für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus {\frac {1}{2}}\mathbb {Z} ^{\leq 0}}$ folgt aus der analytischen Fortsetzbarkeit.