Einerseits ist

${\displaystyle {\Big (}1-(1+x){\Big )}^{n}\,(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\,{n \choose k}\,(1+x)^{n+k}=\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\,{n \choose k}\,{n+k \choose m}\,x^{m}}$

und andererseits ist

${\displaystyle (-x)^{n}\,(1+x)^{n}=(-1)^{n}\,\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}\,x^{m+n}=\sum _{m=n}^{2n}(-1)^{n}\,{n \choose m-n}\,x^{m}}$.

Der Koeffizientenvergleich liefert die Behauptung.