In der erzeugenden Funktion ${\displaystyle e^{{\frac {z}{2}}\left(t-{\frac {1}{t}}\right)}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }J_{n}(z)\,t^{n}}$ setze ${\displaystyle t=e^{i\varphi }}$, bzw. ${\displaystyle t=i\,e^{i\varphi }}$.

${\displaystyle \cos(z\sin \varphi )={\frac {1}{2}}\left(e^{iz\sin \varphi }+e^{-iz\sin \varphi }\right)}$ ist nach Jacobi-Anger Entwicklung

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }J_{n}(z)\left(e^{in\varphi }+e^{-in\varphi }\right)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }J_{n}(z)\cos n\varphi }$.

Wegen ${\displaystyle J_{-n}(z)=(-1)^{n}J_{n}(z)\,}$ ist das ${\displaystyle J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos 2n\varphi }$.

Analog ist ${\displaystyle \sin(z\sin \varphi )={\frac {1}{2i}}\left(e^{iz\sin \varphi }-e^{-iz\sin \varphi }\right)}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2i}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }J_{n}(z)\left(e^{in\varphi }-e^{-in\varphi }\right)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }J_{n}(z)\sin n\varphi }$.

Auch wegen ${\displaystyle J_{-n}(z)=(-1)^{n}J_{n}(z)\,}$ ist das dann ${\displaystyle 2\sum _{n=0}^{\infty }J_{2n+1}(z)\sin(2n+1)\varphi }$.

Um die anderen beiden Formel zu beweise ersetze man ${\displaystyle \varphi \,}$ durch ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\varphi }$.