Jedes reelle ${\displaystyle x\,}$ lässt sich schreiben in der Form:     ${\displaystyle x=\lfloor x\rfloor +\{x\}}$.

Es gibt genau ein ${\displaystyle k'\in \{1,...,n\}}$, so dass gilt:     ${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\left\lfloor x+{\frac {k'-1}{n}}\right\rfloor \leq x<\left\lfloor x+{\frac {k'}{n}}\right\rfloor =\lfloor x\rfloor +1}$

Insbesondere gilt die Ungleichungskette, wenn ${\displaystyle x\,}$ zwischen 0 und 1 liegt, bzw. wenn man sich ${\displaystyle x\,}$ durch ${\displaystyle \{x\}\,}$ ersetzt denkt.

${\displaystyle 0=\left\lfloor \{x\}+{\frac {k'-1}{n}}\right\rfloor \leq \{x\}<\left\lfloor \{x\}+{\frac {k'}{n}}\right\rfloor =1}$


Daraus folgt:     ${\displaystyle \{x\}+{\frac {k'}{n}}\geq 1}$     und     ${\displaystyle \{x\}+{\frac {k'-1}{n}}<1}$


Zusammengefasst zu einer Ungleichungskette:     ${\displaystyle 1-{\frac {k'}{n}}\leq \{x\}<1-{\frac {k'-1}{n}}}$


Und diese mit n durchmultipliziert:     ${\displaystyle n-k'\leq n\,\{x\}<n-k'+1}$


Also ist     ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{\frac {k}{n}}\right\rfloor =\sum _{k=0}^{k'-1}\lfloor x\rfloor +\sum _{k=k'}^{n-1}(\lfloor x\rfloor +1)=n\,\lfloor x\rfloor +n-k'=n\,\lfloor x\rfloor +\lfloor n\,\{x\}\rfloor =\left\lfloor n\,\lfloor x\rfloor +n\,\{x\}\right\rfloor =\lfloor nx\rfloor }$.