${\displaystyle 2\sum _{n=1}^{\infty }\cos n\theta \,{\frac {z^{n}}{n}}=-\log \left(1-2z\cos \theta +z^{2}\right)}$

${\displaystyle =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\,(2\cos \theta -z)^{k}\,z^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}\,{k \choose j}\,(2\cos \theta )^{k-j}\,z^{j+k}}$

Damit es zu einem Indexpaar ${\displaystyle (k,j)\,}$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle j+k=n\,}$ einen Summanden gibt,

muss wegen ${\displaystyle 0\leq j\leq k\,}$ gelten ${\displaystyle {\frac {n}{2}}\leq k\leq n}$ und ${\displaystyle j=n-k\,}$.

Ein Koeffizientenvergleich liefert ${\displaystyle 2\,{\frac {\cos n\theta }{n}}=\sum _{k={\frac {n}{2}}}^{n}{\frac {(-1)^{n-k}}{k}}{k \choose n-k}\,(2\cos \theta )^{2k-n}}$.

Ersetze ${\displaystyle n\,}$ durch ${\displaystyle 2n\,}$:

${\displaystyle {\frac {\cos 2n\theta }{n}}=\sum _{k=n}^{2n}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\,{k \choose 2n-k}\,(2\cos \theta )^{2k-2n}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{n+k}}\,{n+k \choose n-k}\,(2\cos \theta )^{2k}}$

Ersetzt man anschließend ${\displaystyle \theta \,}$ durch ${\displaystyle \theta -{\frac {\pi }{2}}}$, so wird ${\displaystyle \cos 2n\theta \,}$ zu ${\displaystyle (-1)^{n}\cos 2n\theta \,}$ und ${\displaystyle \cos \theta \,}$ zu ${\displaystyle \sin \theta \,}$.

${\displaystyle {\frac {\cos 2n\theta }{n}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{n+k}}\,{n+k \choose n-k}\,(2\sin \theta )^{2k}}$,

und somit ist ${\displaystyle \cos 2n\theta =\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\,{\frac {n\,(n+k-1)!}{(n-k)!}}\,{\frac {(2\sin \theta )^{2k}}{(2k)!}}}$

Dabei ist ${\displaystyle {\frac {n\,(n+k-1)!}{(n-k)!}}=n(n+k-1)(n+k-2)\cdots (n+1)\,n\,(n-1)\cdots (n-k+2)(n-k+1)}$

${\displaystyle =n^{2}\,(n^{2}-1)(n^{2}-2^{2})\cdots (n^{2}-(k-1)^{2})}$

und somit ${\displaystyle {\frac {n\,(n+k-1)!}{(n-k)!}}\,2^{2k}=(2n)^{2}\,{\Big (}(2n)^{2}-2^{2}{\Big )}\,{\Big (}(2n)^{2}-4^{2}{\Big )}\cdots {\Big (}(2n)^{2}-(2k-2)^{2}{\Big )}}$.

Also gilt ${\displaystyle \cos 2n\theta =\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\,{\frac {(2n)^{2}\,{\Big (}(2n)^{2}-2^{2}{\Big )}\,{\Big (}(2n)^{2}-4^{2}{\Big )}\cdots {\Big (}(2n)^{2}-(2k-2)^{2}{\Big )}}{(2k)!}}\,\sin ^{2k}\theta }$.

${\displaystyle e^{\pm i\,2\alpha \theta }=(\cos \theta \pm i\sin \theta )^{2\alpha }=\cos ^{2\alpha }\theta \,\,(1\pm i\tan \theta )^{2\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }(\pm 1)^{k}\,i^{k}\,{2\alpha \choose k}\,\cos ^{2\alpha -k}\theta \,\sin ^{k}\theta }$.

Also ist ${\displaystyle \cos 2\alpha \theta ={\frac {1}{2}}\left(e^{i\,2\alpha \theta }+e^{-i\,2\alpha \theta }\right)=\sum _{k=0}^{\infty }i^{2k}\,{2\alpha \choose 2k}\,\cos ^{2\alpha -2k}\theta \,\sin ^{2k}\theta }$.

Schreibt man ${\displaystyle \cos ^{2\alpha -2k}\theta \,}$ als ${\displaystyle \left(1-\sin ^{2}\theta \right)^{\alpha -k}=\sum _{j=0}^{\infty }(-1)^{j}\,{\alpha -k \choose j}\,\sin ^{2j}\theta }$,

so ist ${\displaystyle \cos 2\alpha \theta =\sum _{k,j=0}^{\infty }(-1)^{k+j}\,{2\alpha \choose 2k}\,{\alpha -k \choose j}\,\sin ^{2k+2j}\theta }$.

Da diese Reihe absolut konvergiert, lässt sie sich umgeordnet schreiben als ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n}\,{2\alpha \choose 2k}\,{\alpha -k \choose n-k}\,\sin ^{2n}\theta }$.

Und das ist ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,A_{n}\,\sin ^{2n}\theta }$ mit ${\displaystyle A_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(2\alpha )!}{(2k)!\,(2\alpha -2k)!}}\,{\frac {(\alpha -k)!}{(n-k)!\,(\alpha -n)!}}}$.

Unter Verwendung der Legendreschen Verdopplungsformel ${\displaystyle (2z)!={\frac {2^{2z}}{\sqrt {\pi }}}\,z!\,\left(z-{\frac {1}{2}}\right)!}$

ist ${\displaystyle A_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {{\frac {2^{2\alpha }}{\sqrt {\pi }}}\,\alpha !\,\left(\alpha -{\frac {1}{2}}\right)!\,(\alpha -k)!}{{\frac {2^{2k}}{\sqrt {\pi }}}k!\,\left(k-{\frac {1}{2}}\right)!\,{\frac {2^{2\alpha -2k}}{\sqrt {\pi }}}\,(\alpha -k)!\,\left(\alpha -{\frac {1}{2}}-k\right)!\,(n-k)!\,(\alpha -n)!}}}$

${\displaystyle ={\frac {{\sqrt {\pi }}\,\alpha !\,\left(\alpha -{\frac {1}{2}}\right)!}{(\alpha -n)!}}\,\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!\,\left(k-{\frac {1}{2}}\right)!\,\left(\alpha -{\frac {1}{2}}-k\right)!\,(n-k)!}}}$.

Letzte Reihe ist die hypergeometrische Reihe

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!\,(k+a)!\,(b-k)!\,(c-k)!}}={\frac {(a+b+c)!}{b!\,c!\,(a+b)!\,(a+c)!}}}$ im Fall ${\displaystyle (a,b,c)=\left(-{\frac {1}{2}},\alpha -{\frac {1}{2}},n\right)}$.

Also ist ${\displaystyle A_{n}={\frac {{\sqrt {\pi }}\,\alpha !\,\left(\alpha -{\frac {1}{2}}\right)!}{(\alpha -n)!}}\,{\frac {(\alpha -1+n)!}{\left(\alpha -{\frac {1}{2}}\right)!\,n!\,(\alpha -1)!\,\left(n-{\frac {1}{2}}\right)!}}}$,

was sich wieder mit Hilfe der Legendreschen Verdopplungsformel schreiben lässt als ${\displaystyle {\frac {\alpha \,(\alpha -1+n)!}{(\alpha -n)!}}\,{\frac {2^{2n}}{(2n)!}}}$.

Also ist ${\displaystyle \cos 2\alpha \theta =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,{\frac {\alpha \,(\alpha -1+n)!}{(\alpha -n)!}}\,{\frac {(2\sin \theta )^{2n}}{(2n)!}}}$.

Setze ${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {(\sin x)^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$, dann ist ${\displaystyle f_{n}'(x)={\frac {(\sin x)^{2n}}{(2n)!}}\,\cos x}$, und daher ist ${\displaystyle f_{n}'(0)=\left\{{\begin{matrix}1&,&n=0\\0&,&n>0\end{matrix}}\right.}$.

Und es gilt ${\displaystyle f_{n}''(x)=f_{n-1}(x)-(2n+1)^{2}f_{n}(x)\,}$, wobei ${\displaystyle f_{n-1}(x)=0\,}$ ist für ${\displaystyle n=0\,}$.


Definiere ${\displaystyle C_{n}(p)\,}$ rekursiv durch ${\displaystyle C_{0}(p)=p\,}$ und ${\displaystyle C_{n+1}(p)=C_{n}(p)\left((2n+1)^{2}-p^{2}\right)}$.

Also ist ${\displaystyle C_{n}(p)=p\cdot (1-p^{2})\cdot (3^{2}-p^{2})\cdots ((2n-1)^{2}-p^{2})=(-1)^{n}\,2^{2n}\,p\,{\frac {\left({\frac {p}{2}}-{\frac {1}{2}}+n\right)!}{\left({\frac {p}{2}}-{\frac {1}{2}}-n\right)!}}}$.


Setze ${\displaystyle F_{N}(x)=\sum _{n=0}^{N}C_{n}(p)\,f_{n}(x)}$, so ist ${\displaystyle F_{N}(0)=0\,}$ und ${\displaystyle F_{N}'(0)=C_{0}(p)=p\,}$.

Und es ist ${\displaystyle F_{N}''(x)=\sum _{n=1}^{N}C_{n}(p)\,f_{n-1}(x)-\sum _{n=0}^{N}C_{n}(p)(2n+1)^{2}f_{n}(x)}$.

Die erste Summe ist dabei nach Indexverschiebung

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}C_{n+1}(p)\,f_{n}(x)=\sum _{n=0}^{N-1}C_{n}(p)\left((2n+1)^{2}-p^{2}\right)\,f_{n}(x)}$.

Also ist ${\displaystyle F_{N}''(x)=-p^{2}\sum _{n=0}^{N-1}C_{n}(p)f_{n}(x)-C_{N}(p)\cdot (2N+1)^{2}f_{N}(x)}$,

gleichbedeutend mit ${\displaystyle F_{N}''(x)+p^{2}F_{N}(x)=-C_{N}(p)\cdot (2N+1)^{2}f_{N}(x)\,}$.

Nun ist ${\displaystyle C_{N}(p)=2^{2N}\,p\,\left({\frac {p}{2}}-{\frac {1}{2}}+N\right)!\cdot \left(N-{\frac {p}{2}}-{\frac {1}{2}}\right)!\cdot {\frac {\cos {\frac {p\pi }{2}}}{\pi }}}$

${\displaystyle \sim 2^{2N}\,N!\cdot N^{{\frac {p}{2}}-{\frac {1}{2}}}\cdot N!\cdot N^{-{\frac {p}{2}}-{\frac {1}{2}}}\cdot {\frac {p\cos {\frac {p\pi }{2}}}{\pi }}\sim {\frac {(2N)!}{\sqrt {N\pi }}}\cdot p\cos {\frac {p\pi }{2}}}$, und somit ist

${\displaystyle C_{N}(p)\cdot (2N+1)^{2}f_{N}(x)\sim {\frac {(2N)!}{\sqrt {N\pi }}}\cdot (2N+1)^{2}\cdot {\frac {(\sin x)^{2N+1}}{(2N+1)!}}\cdot p\cos {\frac {p\pi }{2}}\sim {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\cdot {\sqrt {N}}\cdot (\sin x)^{2N+1}\cdot p\cos {\frac {p\pi }{2}}}$.

Also fällt der Term für ${\displaystyle N\to \infty \,}$ exponentiell gegen null ab.

Setzt man ${\displaystyle F(x)=\lim _{N\to \infty }F_{N}(x)}$, so gelangt man zur Differenzialgleichung ${\displaystyle F''(x)+p^{2}F(x)=0\,}$

mit den Anfangswerten ${\displaystyle F(0)=0\,}$ und ${\displaystyle F'(0)=p\,}$. Also ist ${\displaystyle F(x)=\sin px\,}$.

Setze ${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {(\sin x)^{2n}}{(2n)!}}}$, dann ist ${\displaystyle f_{n}'(x)={\frac {(\sin x)^{2n-1}}{(2n-1)!}}\,\cos x}$, und daher ist ${\displaystyle f_{n}'(0)=0\,}$.

Und es gilt ${\displaystyle f_{n}''(x)=f_{n-1}(x)-(2n)^{2}f_{n}(x)\,}$, wobei ${\displaystyle f_{n-1}(x)=0\,}$ ist für ${\displaystyle n=0\,}$.


Definiere ${\displaystyle C_{n}(p)\,}$ rekursiv durch ${\displaystyle C_{0}(p)=1\,}$ und ${\displaystyle C_{n+1}(p)=C_{n}(p)\left((2n)^{2}-p^{2}\right)}$.

Also ist ${\displaystyle C_{n}(p)=-p^{2}\cdot (2^{2}-p^{2})\cdot (4^{2}-p^{2})\cdots ((2n-2)^{2}-p^{2})=(-1)^{n}\,2^{2n-1}\,p\,{\frac {\left({\frac {p}{2}}-1+n\right)!}{\left({\frac {p}{2}}-n\right)!}}}$.


Setze ${\displaystyle F_{N}(x)=\sum _{n=0}^{N}C_{n}(p)\,f_{n}(x)}$, so ist ${\displaystyle F_{N}(0)=C_{0}(p)=1\,}$ und ${\displaystyle F_{N}'(0)=0\,}$.

Und es ist ${\displaystyle F_{N}''(x)=\sum _{n=1}^{N}C_{n}(p)\,f_{n-1}(x)-\sum _{n=0}^{N}C_{n}(p)\cdot (2n)^{2}f_{n}(x)}$.

Die erste Summe ist dabei nach Indexverschiebung

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}C_{n+1}(p)\,f_{n}(x)=\sum _{n=0}^{N-1}C_{n}(p)\left((2n)^{2}-p^{2}\right)\,f_{n}(x)}$.

Also ist ${\displaystyle F_{N}''(x)=-p^{2}\sum _{n=0}^{N-1}C_{n}(p)f_{n}(x)-C_{N}(p)\cdot (2N)^{2}f_{N}(x)}$,

gleichbedeutend mit ${\displaystyle F_{N}''(x)+p^{2}F_{N}(x)=-C_{N}(p)\cdot (2N)^{2}f_{N}(x)\,}$.

Nun ist ${\displaystyle -C_{N}(p)=2^{2N-1}\,p\,\left({\frac {p}{2}}-1+N\right)!\cdot \left(N-{\frac {p}{2}}-1\right)!\cdot {\frac {\sin {\frac {p\pi }{2}}}{\pi }}}$

${\displaystyle \sim 2^{2N-1}\,N!\cdot N^{{\frac {p}{2}}-1}\cdot N!\cdot N^{-{\frac {p}{2}}-1}\cdot {\frac {p\sin {\frac {p\pi }{2}}}{\pi }}\sim {\frac {(2N-1)!}{\sqrt {N\pi }}}\cdot p\sin {\frac {p\pi }{2}}}$, und somit ist

${\displaystyle -C_{N}(p)\cdot (2N)^{2}f_{N}(x)\sim {\frac {(2N-1)!}{\sqrt {N\pi }}}\cdot (2N)^{2}\cdot {\frac {(\sin x)^{2N}}{(2N)!}}\cdot p\sin {\frac {p\pi }{2}}\sim {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\cdot {\sqrt {N}}\cdot (\sin x)^{2N}\cdot p\sin {\frac {p\pi }{2}}}$.

Also fällt der Term für ${\displaystyle N\to \infty \,}$ exponentiell gegen null ab.

Setzt man ${\displaystyle F(x)=\lim _{N\to \infty }F_{N}(x)}$, so gelangt man zur Differenzialgleichung ${\displaystyle F''(x)+p^{2}F(x)=0\,}$

mit den Anfangswerten ${\displaystyle F(0)=1\,}$ und ${\displaystyle F'(0)=0\,}$. Also ist ${\displaystyle F(x)=\cos px\,}$.