Fibonacci-Folgen und Lucas-Folgen

Die Lucas-Folge

Wegen ihrer zur Fibonacci-Folge gleichen Bildungsregel ${\displaystyle L_{n}=L_{n-2}+L_{n-1}\ }$ wird sie mit der Fibonacci-Folge in Zusammenhang gebracht. Sie unterscheidet sich allerdings in den beiden Anfangsgliedern. Statt ${\displaystyle f_{0}=0\ }$ und ${\displaystyle f_{1}=1\ }$ lauten die beiden Anfangsglieder ${\displaystyle L_{0}=2\ }$ und ${\displaystyle L_{1}=1\ }$.

Die Lucas-Folge beginnt mit: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, ...

Jedes Glied der Lucasfolge läßt sich auch über die Summe zweier Fibonacci-Glieder berechnen:

${\displaystyle L_{n}=f_{n-1}+f_{n+1}\ }$

Oder als Potenz des goldenen Schnitts:

${\displaystyle L_{n}=\left\lfloor \Phi ^{n}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \quad \forall n\geq 2}$

Es gibt dann noch eine andere rekursive Bildungsregel:

${\displaystyle L_{n+1}=\left\lfloor {\frac {L_{n}(1+{\sqrt {5}})+1}{2}}\right\rfloor \quad \forall n\geq 4}$

Und die Formel von Binet:

${\displaystyle L_{n}=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}$

Eigenschaften der Lucas-Folge

• Bezüglich der Teilbarkeit gilt: Wenn ${\displaystyle p\ }$ eine Primzahl ist, dann ist ${\displaystyle L_{p}-1}$ durch ${\displaystyle p\ }$ teilbar.