Fibonacci-Folgen und Lucas-Folgen

Der goldene Schnitt

Als goldenen Schnitt bezeichnet man das Teilungsverhältnis, bei welchem sich der große Anteil zum kleinen so verhält, wie die Gesamtheit zum großen Anteil. Wenn man eine Gesamtheit mit dem Maß 1 in zwei Teile mit den Maßen ${\displaystyle \Phi }$ und ${\displaystyle 1-\Phi }$ aufteilt, liefert die obige Definition die Bedingung ${\displaystyle {\frac {\Phi }{1-\Phi }}={\frac {1}{\Phi }}}$.

Dies liefert die Bestimmungsgleichung ${\displaystyle \Phi ^{2}-\Phi -1=0}$ mit der Lösung ${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$. Allerdings wird auch die Konstante ${\displaystyle \Psi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi -1={\frac {1}{\Phi }}}$ als goldener Schnitt bezeichnet. Der nummerische Wert des goldenen Schnitts ist ${\displaystyle \Phi =1,6180339....\ }$.

Darstellungsweisen

• Der goldene Schnitt lässt sich als nicht abbrechender Kettenbruch darstellen:

${\displaystyle \Phi =1+{\frac {1}{\Phi }}=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{\Phi }}}}=\cdots =1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+\cdots }}}}}}}}.}$

• Aus der quadratischen Gleichung Φ² = 1 + Φ lässt sich folgende unendliche Kettenwurzel herleiten:

${\displaystyle \Phi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\ldots }}}}}}}}}$

Beziehungen zu den Fibonacci-Folgen

Wenn man den Quotienten aus zwei aufeinander folgenden Gliedern einer Fibonacci-Folge berechnet, bekommt man eine Näherung an den goldenen Schnitt, die um so genauer ist, je höher die beiden Folgen liegen:

	Fibonacci-Folge			Lucas-Folge			Folge ${\displaystyle a_{n}\ }$
${\displaystyle n\ }$	${\displaystyle f_{n}\ }$	${\displaystyle f_{n+1}\ }$	${\displaystyle {\frac {f_{n+1}}{f_{n}}}}$	${\displaystyle L_{n}\ }$	${\displaystyle L_{n+1}\ }$	${\displaystyle {\frac {L_{n+1}}{L_{n}}}}$	${\displaystyle a_{n}\ }$	${\displaystyle a_{n+1}\ }$	${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}$
1	1	1	1.00000	1	3	3.00000	2	7	3.50000
2	1	2	2.00000	3	4	1.33333	7	9	1.28571
3	2	3	1.50000	4	7	1.75000	9	16	1.77777
4	3	5	1.66666	7	11	1.57143	16	25	1.56250
5	5	8	1.60000	11	18	1.63636	25	41	1.64000
6	8	13	1.62500	18	29	1.61111	41	66	1.60976
7	13	21	1.61538	29	47	1.62096	66	107	1.62121
8	21	34	1.61905	47	76	1.61702	107	173	1.61682
9	34	55	1.61765	76	123	1.61842	173	280	1.6185
10	55	89	1.61818	123	199	1.61789	280	453	1.61786
11	89	144	1.61798	199	322	1.61809	453	733	1.6181
12	144	233	1.61806	322	521	1.61801	733	1186	1.61801
13	233	377	1.61803	521	843	1.61804	1186	1919	1.61804

_{Die Folge ${\displaystyle a_{n}\ }$ mit der Bildungsregel ${\displaystyle a_{n}=a_{n-2}+a_{n-1}\ }$ und den Startwerten ${\displaystyle a_{1}=2\ }$ und ${\displaystyle a_{2}=7\ }$}

Dies lässt sich über die Kettenbruchdarstellung der Quotienten zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen darstellen:

${\displaystyle {\frac {1}{1}}=1\qquad {\frac {2}{1}}=1+{\frac {1}{1}}\qquad {\frac {3}{2}}=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1}}}}\qquad {\frac {5}{3}}=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1}}}}}}\qquad {\frac {8}{5}}=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1}}}}}}}}}$

Analoges gilt auch für alle anderen Folgen mit der Bildungsregel ${\displaystyle a_{n}=a_{n-2}+a_{n-1}\ }$, egal welche Startwerte diese Folgen besitzen.