Beispiel 1: Mischung desselben Stoffes derselben Menge unterschiedlicher Temperatur

Man füllt ein Styroporgefäß mit 300 g Wasser, das eine Temperatur von 40 Grad Celsius aufweist. Dann schüttet man 300 g Wasser von 10 Grad Celsius dazu. Das Styroporgefäß als guter Isolator nimmt nur eine minimaler Wärmemenge auf. Dann rührt man etwas herum und misst die Mischtemperatur 24,8 Grad Celsius. Als Schätzung müsste eine Mischtemperatur von 25 Grad herauskommen.

Wie kann man die Mischtemperatur errechnen?

Es gelten folgende Regeln:

• Die Energieabgabe E_W der wärmeren Flüssigkeit ist gleich der Energieaufnahme E_K der kälteren Flüssigkeit.

EW = EK

• Die Masse der wärmeren Flüssigkeit ist gleich der Masse der kälteren Flüssigkeit.

mW = mK

• Die spezifische Wärmekapazität des Wassers ist:

${\displaystyle \mathrm {c_{Wasser}=4,19{\frac {J}{g\cdot K}}} }$

Die Temperaturen werden wie folgt bezeichnet:

• t_W = 40 °C
• t_K = 10 °C
• t_misch = gesucht

Es gilt folgende Formel:

EW = cWasser * m W * (tW − tmisch)

EK = cWasser * m K * (tmisch − tK)

Da E_W = E_K gilt, kann man vereinfachen:

cWasser * m W * (tW − tmisch) = cWasser * m K * (tmisch − tK)

Aus dieser Gleichung kürzt man c_Wasser. Man dividiert auf beiden Seiten durch c_Wasser.

m W * (tW − tmisch) = m K * (tmisch − tK)

Da im obigen Beispiel m_W = m_K gilt, kann man auch noch m kürzen. Es bleibt folgende Formel übrig:

(tW − tmisch) = (tmisch − tK)

Jetzt setzt man die Temperaturen ein und errechnet die Mischtemperatur:

(40 °C − tmisch) = (tmisch − 10 °C)

Jetzt rechnet man die Gleichung nach t_misch aus. Man addiert auf beiden Seiten t_misch.

40 °C − tmisch + tmisch = tmisch − 10 °C + tmisch

40 °C = 2 * tmisch − 10 °C

Man addiert auf beiden Seiten 10 °C.

50 °C = 2 * tmisch

Man dividiert beiden Seiten durch 2.

50 °C / 2 = tmisch
tmisch = 25 °C

Was hat dies alles nun mit der Entropie zu tun?

Man kann aus dem obigen Beispiel jetzt auch die Entropie berechnen:

Es gilt dS = dE / TK − dE / TW 

Die Temperatur muss man allerdings in Kelvin einsetzen:

TW = (40 Grad + 273 Grad) Kelvin
TK = (10 Grad + 273 Grad) Kelvin

Die Energieaufnahme und -abgabe sind gleich:

EW = cWasser * m W * (tW − tmisch)

E = 4,19 J/ (g * Grad Celsius) * 300 g * (40 Grad Celsius − 25 Grad Celsius)
E = 4,19 J/ (g * Grad Celsius) * 300 g * 15 Grad Celsius
E = 1257 J /Grad Celsius * 15 Grad Celsius
E = 18855 Joule

Daraus kann man die Entropieänderung errechnen:

dS = 18855 Joule / 283 Kelvin − 18855 Joule / 313 Kelvin
dS = 66,625 − 60,24 Joule / Kelvin
dS = 6,385 Joule / Kelvin

Interessant bei der ganzen Rechnung ist die Tatsache, das

• die Energie, die vom wärmeren Wasser an das kältere Wasser abgegeben wurde identisch ist mit der Energie, die das kalte Wasser aufgenommen hat.
• die Entropie des gemischten Wassers aber grösser geworden ist als die Summe der Einzelentropien vor der Mischung.

Analogie Thermodynamik und Elektrizitätslehre für abgeleitete Größen

Thermodynamik                             Elektrizitätslehre
---------------------------------------------------------------------------------
Entropiewiderstand                        elektrischer Widerstand
IS = Entropiefluß ΔS/Δt (t = Zeit)        Ladungsfluß Ladung Q /Zeit = Stromstärke IQ
Entropiekapazität CS=ΔS/ΔT                elektrische Kapazität C= Ladung Q/ Spannung U
IE = Energiefluß = ΔE/t = Leistung        IE = Energiefluß = ΔE/t = Energie/Zeit = Leistung 
IE  = T * IS                              IE = elektr.Pot * IQ
ΔE  = T * ΔS                              ΔE = elektr.Pot * ΔQ

• Jedes Material setzt dem hindurchfließenden Entropiestrom einen Widerstand entgegen.
• Dieser Widerstand ist um so größer, je kleiner die Austauschfläche A der Leitung und je größer die Länge l der Leitung ist.
• Dieser Widerstand hängt außerdem vom wärmeleitenden Material ab. Diese Materialkonstante nennt man rho_S.
• Für den Entropiewiderstand gilt also:

RS = l / A * rhoS

• Der Entropieleitwert ist der Kehrwert des Widerstandes. Er berechnet sich als

${\displaystyle \mathrm {L_{S}={\frac {I_{S}}{\Delta T}}} }$ (T = Temperatur).

Dies nennt man das Fouriersche Gesetz.

• Die Entropiezunahme eines Körpers bei Erhöhung der Temperatur nennt man Entropiekapazität C_S. Sie berechnet sich als

${\displaystyle C_{S}={\frac {\Delta S}{\Delta T}}}$

• Die Entropiekapazität hängt vor allem von der Temperatur, aber auch von der Masse, dem Volumen, dem Druck und der Stoffmenge ab.
• Bei Phasenübergängen wie dem Schmelzen und Verdampfen ändert sich die Entropiekapazität sehr stark.

• Entropie kann neu erzeugt werden durch
  • Reibung
  • eine chemische Reaktion
  • durch elektrische Ströme in elektrischen Widerständen
  • durch Entropieströme in Wärmewiderständen.
• Entropie kann zwar erzeugt, aber in der Summe nicht verringert werden.
• Vorgänge, bei denen Entropie erzeugt wird, können von alleine nicht wieder rückwärts ablaufen. Sie sind irreversibel.
• Die Entropie ist ein Energieträger. Liegt ein Entropiefluss vor, so ist dieser immer von einem Energiefluss begleitet.
• Die den Entropiefluss I_S begleitende Energiefluß (Energiestromstärke) I_E berechnet sich zu

${\displaystyle \mathrm {I_{E}=T\cdot I_{S}} }$

Lässt man den Faktor Zeit aus der Formel auf beiden Seiten wegfallen, dann ergibt das:

${\displaystyle \Delta E=T\cdot \Delta S}$

• Die Energiestromstärke entspricht einer Leistung (Energie / Zeit).

P = IE

• Versucht man mit verschiedenen Arten des Wärmeentzugs einem Körper immer mehr Energie zu entziehen, kann man zwei Tatsachen feststellen:
  • Man kommt zwar der Temperatur Null Kelvin (-273.15 Grad Celsius) sehr nahe, kann sie aber nicht unterschreiten bzw. erreichen. Bei dieser Temperatur befindet sich ein absoluter Temperaturnullpunkt.
  • Bei dieser Temperatur kann man keine Entropie mehr entziehen. Absolut kalte Körper haben keine Entropie mehr.
• Die Einheit der Entropie in der Physik ist 1 Joule / Kelvin.
• 1 Joule / Kelvin entspricht der Entropiemenge, mit der man bei Normaldruck 0,893 cm³ Wassereis schmelzen kann.
• Manche Autoren verwenden das Carnot (Einheitenzeichen: Ct) aus didaktischen Gründen als besonderen Namen für die SI-Einheit Joule durch Kelvin (J/K) der Entropie.

Peltierelement

Entropieströme durch eine Fläche lassen sich mit einem geeichten Peltier-Element messen.

Siehe www.heise.de/tp/r4/artikel/5/5856/1.html

Aufgabe 0

Sie haben 1 Liter Wasser von 20 Grad. Dazu gießen Sie einen weiteren Liter Wasser von 20 Grad dazu. Frage a: Wie hoch ist danach die Temperatur des Wassers ? Frage b: Wie groß ist danach die Entropie`?

Antwort: Die Temperatur bleibt gleich. Die Entropie verdoppelt sich.

Aufgabe 1

1. Sie haben 1 kg Eis bei Null Grad Celsius und normalem Umgebungsdruck. Berechnen Sie die Zunahme der Entropie, wenn das Eis komplett zu Wasser von 0 Grad geschmolzen ist. Benutzen Sie dazu die spezifische Schmelzwärme von Wasser.

• Lösung: S = 1219,848 Joule / Kelvin
• Lösungsweg: Siehe Entropie: Loesungen

1a. Sie haben 5 kg Wasser beim normalen Siedepunkt von 100 Grad Celsius und normalem Umgebungsdruck. Berechnen Sie die Zunahme der Entropie, wenn das Wasser komplett zu Wasserdampf mit der Temperatur des Siedepunktes verdampft ist. Benutzen Sie dazu die spezifische Verdampfungswärme (Verdampfungsenthalpie) von Wasser. (Siehe de.wikipedia.org/wiki/Verdampfungswärme#Verdampfungsenthalpie)

• Lösung: S =
• Lösungsweg: Siehe Entropie: Loesungen

1b. Warum muss bei dem Vorgang Energie aufgewendet werden und warum läuft die Verdampfung nicht von alleine ab? Wann läuft die Verdampfung scheinbar von alleine ab?

1c. Kommt es bei dem Übergang Wasser > Wasserdampf zu einer Entropiezunahme oder Entropieabnahme?

1d. Wie kann man sich erklären, das Wasser auch bei normalen Luftdruck auch schon bei Temperaturen weit unter dem Siedepunkt verdampft z. B. bei der Trocknung eines Wäschestückes auf der Wäscheleine?

Aufgabe 2

2. Sie erwärmen 1 kg Wasser von 20 Grad Celsius auf 70 Grad Celsius. Wieviel Energie müssen Sie dazu verwenden? Wie groß ist die Entropiezunahme?

• Lösung: S =
• Lösungsweg: Siehe Entropie: Loesungen

Aufgabe 3

3. Sie mischen 1 kg Wasser von 20 Grad Celsius und 1 kg Wasser von 50 Grad Celsius. Wieviel Energie geht vom wärmeren Wasser auf das kältere Wasser über? Wie hoch ist die Mischtemperatur? Wie groß ist der Entropieanstieg?

• Lösung: S =
• Lösungsweg: Siehe Entropie: Loesungen

Aufgabe 4

10 kg Stickstoff werden isobar auf 1/10 des Anfangsvolumens verdichtet .

• Wie ändert sich der Druck ?
• Wie ändert sich die Temperatur ?
• Wie ändert sich die Entropie ?
• Wieviel mechanische Energie muß dafür aufgewendet werden ?

Aufgabe 5

Die spezifische Wärmekapazität des Wassers Cw ist bei p = 1 atm gleich 4,19 J / (g*K). Erklären Sie diesen Wert für 1 g Wasser und 1 Grad Kelvin Temperaturerhöhung.

Aufgabe 6

Welche Wassermenge hat bei 50 Grad die gleiche Wärmemenge (Entropie )  wie 2000 g Wasser bei 20 Grad Celsius ?

Aufgabe 7

Der Heizdraht eines 1200-W-Haarföns hat eine Temperatur von 1000 K.

• Wie viel Entropie wird pro Sekunde im Heizdraht erzeugt?

Aufgabe 8

Berechnen sie die Entropie die notwendig ist, um 5 kg Eis bei Null Grad Celsius und p = 1 atm zum Schmelzen zu bringen.

Wie kann man das berechnete Ergebnis mit einem Tauchsieder meßtechnisch überprüfen ?

Wie unterscheidet sich der Wert der Entropie, die dafür notwendig ist, vom errechneten Wert der Energie ?

Aufgabe 9

Berechnen sie die Entropie die notwendig ist, um 5 kg Wasser von Null Grad Celsius und p = 1 atm auf 10 Grad Celsius und gleichbleibendem Druck zu erwärmen ?

Wie kann man das berechnete Ergebnis mit einem Tauchsieder meßtechnisch überprüfen ?

Aufgabe 10

Wie ändert sich die Entropie S in einem Stück Metall mit der Masse m = 0,001 kg beim Anstieg der Temperatur von 1 Grad Kelvin auf 11 Grad Kelvin ?

Nehmen Sie dazu an, daß die spezifische Wärmekapazität c des Metalls konstant 500 J/kg/Kelvin beträgt.

Benutzen Sie folgende Formel:

${\displaystyle \Delta S=c\cdot m\cdot ln\left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)}$

T2 ist die Temperatur 11 Kelvin T1 ist die Temperatur 1 Kelvin ln = Logarithmus zur Basis e (natürlicher Logarithmus)

Lösung:

Delta S = 500 J/kg/Kelvin  * 0,001 kg * ln ( 11 / 1 ) 
Delta S = 0,5 J/K * 2,397
Delta S = 1,2 J/K

Aufgabe 11 Mischung von Gasen

Ein 10-Liter Behälter ist in zwei gleiche Hälften geteilt. In einer befindet sich Stickstoff mit einem Druck von 1 bar, in der anderen Hälfte Wasserstoff von 1 bar. Die Temperatur ist 20 Grad Celsius.

• Wie ändert sich die Entropie S und die freie Enthalpie G des Gesamtsystems, wenn man eine Vermischung zulässt ?
• Wie lange dauert es , bis eine gleichmässige Vermischung der beiden Gase erreicht ist ?
• Wie groß ist ΔS und ΔG, wenn der Wasserstoff durch Stickstoff ersetzt wird ?

Aufgabe 12 Mischung von 2 idealen Gasen

Wir mischen zwei Gase adiabatisch mit gleichen Volumina, gleicher Temperatur, gleicher Teilchenzahl . Beispielsweise 1 Mol Helium und 1 Mol Neon.

Berechnen Sie mit der Boltzmann Konstante k und der Avogadroschen Zahl die Mischungsentropie.

${\displaystyle \Delta S=k\cdot N_{1}\cdot ln\left({\frac {(N_{1}+N_{2})}{N_{1}}}\right)+k\cdot N_{2}\cdot ln\left({\frac {(N_{1}+N_{2})}{N_{2}}}\right)}$

${\displaystyle \mathrm {N_{1}=N_{2}=N_{A}=Avogadrosche\,Zahl} }$

Daraus ergibt sich:

• DeltaS = k * NA * ln (( NA + NA ) / NA ) + k * NA * ln (( NA + NA ) / NA)
• DeltaS = 2*k *NA * ln 2
• DeltaS = 2* 1,380*10^-23 J/K* 6,02214179*10^23 1/mol*ln2
• DeltaS = 2*1,4*6,02*0,69 J/K/mol
• DeltaS = 11,68 J/K/mol

Aufgabe 13

Sie betrachten ein Gas mit folgenden Vorgaben:

• Temperatur 290 K
• Volumen 1 m³
• Druck 1,5 bar

Berechnen Sie die Gesamtentropie des Gases.

• Welche Formel wollen Sie benutzen ?
• Woe lautet das Ergebnis ?
• Welche Einheit hat das Ergebnis ?
• Wie kann man das Ergebnis interpretieren ?

Verweise

• www.wiwi.uni-frankfurt.de/~rainerh/Diplomarbeit/dbdzh03.htm
  • 2. Hauptsatz gut lesbar erklärt
• de.wikipedia.org/wiki/Thermodynamik
• Thermodynamik

Beispiele

• Sternentstehung durch Gravitation
• Kristallisation von Stoffen beim Abkühlen
• Lebensentstehung auf der Erde
• Evolution des Lebens auf der Erde.

Auch die Vorstellung vom Urknall geht von einem sehr entropiearmen Anfangszustand aus. Irgendwie muss dieser entropiearme Zustand erreicht worden sein.