Formuliere den allgemeinen Integranden ${\displaystyle ds}$ in eine für das Problem geeignete Form um.

• ${\displaystyle ds}$ kann in karthesischen Koordinaten nach dem Satz des Pythagoras wie folgt dargestellt werden:

${\displaystyle {\begin{aligned}&ds&={\sqrt {dr^{2}+dy^{2}}}\\\Rightarrow \ &{\frac {ds}{dr}}&={\sqrt {1+({\frac {dy}{dr}})^{2}}}\\\Rightarrow \ &ds&={\sqrt {1+y'^{2}}}dr\end{aligned}}}$

• Der Umfang eines Kreises ist gegeben durch ${\displaystyle |2\pi {\vec {r}}|}$
• Damit wird also gesucht:

${\displaystyle min{\stackrel {!}{=}}\int _{r_{1}}^{r_{2}}2\pi r{\sqrt {1+y'^{2}}}dr}$

Stelle die Eulersche Gleichung auf und löse diese.

• ${\displaystyle min{\stackrel {!}{=}}2\pi \int _{r_{1}}^{r_{2}}r{\sqrt {1+y'^{2}}}dr}$
• Die Eulersche Gleichung lautet:

  ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial f}{\partial y'}}=0}$

  Dabei ist:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial y}}&=0\\{\frac {\partial f}{\partial y'}}&={\frac {ry'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}=c(onst.)\end{aligned}}}$

  Weiter ist dann:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}={\frac {r^{2}y'^{2}}{1+y'^{2}}}\\=c^{2}+c^{2}y'^{2}=r^{2}y'^{2}\\=c^{2}=y'^{2}(r^{2}-c^{2})\\\Rightarrow c=y'{\sqrt {r^{2}-c^{2}}}\\\Rightarrow y'={\frac {c}{\sqrt {r^{2}-c^{2}}}}\\\Rightarrow y=c\int {\frac {1}{\sqrt {r^{2}-c^{2}}}}dr{\stackrel {Integrationstabelle}{=}}c\cdot arcosh\left({\frac {r}{c}}\right)\end{aligned}}}$