Formuliere den allgemeinen Integranden ${\displaystyle ds}$ in eine für das Problem geeignete Form um. Wie würdest Du die Teilstrecke ${\displaystyle ds}$ mathemathisch formulieren?

${\displaystyle ds}$ kann in karthesischen Koordinaten nach dem Satz des Pythagoras wie folgt dargestellt werden:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{array}{rrl}&ds&={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}\\\Rightarrow \ &{\frac {ds}{dx}}&={\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\\\Rightarrow \ &ds&={\sqrt {1+y'^{2}}}dx\end{array}}\end{aligned}}}$

Stelle nun zunächst das Integral für den Weg ${\displaystyle S=\int _{1}^{2}ds}$ auf.

Stelle dann die Eulersche Gleichung auf und löse diese.

1. ${\displaystyle S=\int _{A}^{B}F(f(x,y,y'))dx=\int _{A}^{B}{\sqrt {1+y'^{2}}}dx}$

1. Die Eulersche Gleichung lautet:

   ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial f}{\partial y'}}=0}$

   Dabei ist:

   ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial y}}&=0\\{\frac {\partial f}{\partial y'}}&={\frac {\partial {\sqrt {1+y'^{2}}}}{\partial y'}}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\end{aligned}}}$

   Damit folgt ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}=0}$ und somit ${\displaystyle {\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}=\mathrm {const.} }$

2. Sei ${\displaystyle {\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}=c}$. Es folgt

   ${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{array}{rrl}&{\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}&=c\\\Rightarrow \ &y'&=c{\sqrt {1+y'^{2}}}\\\Rightarrow \ &y'^{2}&=c^{2}\cdot (1+y'^{2})\\\Rightarrow \ &(1-c^{2})\cdot y'^{2}&=c^{2}\\&&\left\downarrow \ {\begin{array}{l}{\text{Wegen }}|{\sqrt {1+y'^{2}}}|>|y'|{\text{ ist }}|c|<1\\[5px]{\text{und damit }}1-c^{2}>0\end{array}}\right.\\\Rightarrow \ &y'^{2}&={\frac {c^{2}}{1-c^{2}}}\\\Rightarrow \ &|y'|&={\sqrt {\frac {c^{2}}{1-c^{2}}}}\\&&\left\downarrow \ {\begin{array}{l}y'{\text{ ist stetig und damit kann }}y'{\text{ nicht zwischen}}\\[5px]{\sqrt {\frac {c^{2}}{1-c^{2}}}}{\text{ und }}-{\sqrt {\frac {c^{2}}{1-c^{2}}}}{\text{ springen}}\end{array}}\right.\\\Rightarrow \ &y'&=\mathrm {const} \\\end{array}}\end{aligned}}}$

   Wegen ${\displaystyle y'=\mathrm {const} }$ ist ${\displaystyle y(x)=ax+b}$ für bestimmte ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ und damit ist ${\displaystyle y(x)}$ eine Gerade.