Aufgabensammlung Mathematik: Teilbarkeit durch 5

Teilbarkeit durch 5

Beweise, dass $n^{5}-n$ für $n\in \mathbb {N} _{0}$ durch 5 teilbar ist.

Beweis

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für $n\in \mathbb {N} _{0}$ bewiesen werden soll:

$n^{5}-n$ ist durch 5 teilbar.

1. Induktionsanfang:

Für $n=0$ ist $0^{5}-0=0$ . Da 0 durch jede Zahl teilbar ist, ist sie auch durch 5 teilbar und damit der Induktionsanfang bewiesen.

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

$n^{5}-n$ ist durch 5 teilbar.

2b. Induktionsbehauptung:

$(n+1)^{5}-(n+1)$ ist durch 5 teilbar.

2c. Beweis des Induktionsschritts:

Es gilt:

${\begin{aligned}(n+1)^{5}-(n+1)&=n^{5}+5n^{4}+10n^{3}+10n^{2}+5n+1-n-1\\[5px]&=\underbrace {(n^{5}-n)} _{\text{durch 5 teilbar (IV)}}+\underbrace {5(n^{4}+2n^{3}+2n^{2}+n)} _{\text{durch 5 teilbar}}\\\end{aligned}}$

Nun ist diese Summe durch 5 teilbar, wenn beide Summanden durch 5 teilbar sind. Dies gilt sichtlich für den rechten Summanden. Und nach Induktionsvoraussetzung ist auch der linke Summand durch fünf teilbar.

This article is issued from Wikibooks. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.