Induktionsvariable: ${\displaystyle n}$

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit in ${\displaystyle \mathbb {N} _{\geq 1}}$ bewiesen werden soll:

${\displaystyle A(n):\sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left({{n\cdot (n+1)} \over 2}\right)^{2}}$

Induktionsanfang:

${\displaystyle {\color {Blue}\sum _{k=1}^{1}k^{3}}={\color {OliveGreen}\left({{1\cdot (1+1)} \over 2}\right)^{2}}}$

Linke Seite der Gleichung:

${\displaystyle {\color {Blue}\sum _{k=1}^{1}k^{3}}=1^{3}=1}$

Rechte Seite der Gleichung:

${\displaystyle {\color {OliveGreen}\left({{1\cdot (1+1)} \over 2}\right)^{2}}=\left({2 \over 2}\right)^{2}=1^{2}=1}$

Induktionsvoraussetzung:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left({{n\cdot (n+1)} \over 2}\right)^{2}}$

Induktionsbehauptung:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1}k^{3}=\left({{(n+1)\cdot (n+2)} \over 2}\right)^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n+1}k^{3}&={\color {Blue}\left(\sum _{k=1}^{n}k^{3}\right)}+(n+1)^{3}\\[5px]&\qquad {\color {Blue}\left\downarrow \ {\text{Induktionsvoraussetzung einsetzen}}\right.}\\[5px]&={\color {Blue}\left({{n\cdot (n+1)} \over 2}\right)^{2}}+(n+1)^{3}\\[5px]&={{n^{2}\cdot (n+1)^{2}} \over 4}+(n+1)^{3}\\[5px]&={{n^{2}\cdot (n+1)^{2}+4\cdot (n+1)^{3}} \over 4}\\[5px]&={{(n+1)^{2}\cdot (n^{2}+4\cdot (n+1))} \over 4}\\[5px]&={{(n+1)^{2}\cdot (n^{2}+4n+4)} \over 4}\\[5px]&={{(n+1)^{2}\cdot (n+2)^{2}} \over 4}\\[5px]&=\left({{(n+1)\cdot (n+2)} \over 2}\right)^{2}\\[5px]\end{aligned}}}$