Sei ${\displaystyle (X,d)}$ ein metrischer Raum. Die Distanz zwischen einem Punkt ${\displaystyle x\in X}$ und einer Menge ${\displaystyle A\subseteq X}$ sei definiert durch ${\displaystyle \operatorname {dist} (x,A):=\inf _{a\in A}\{d(x,a)\}}$. Beweise:

1. Die Funktion ${\displaystyle \operatorname {dist} _{A}:X\rightarrow \mathbb {R} :x\mapsto \operatorname {dist} (x,A)}$ ist Lipschitz-stetig.
2. Ist ${\displaystyle A}$ abgeschlossen, dann gilt ${\displaystyle x\in A\Leftrightarrow \operatorname {dist} (x,A)=0}$