Aufgabe 1

Zeige in einem ersten Schritt, dass für alle ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ gilt:

${\displaystyle ab\leq {\frac {1}{2}}\left({a}^{2}+{b}^{2}\right).}$

Diese Ungleichung wird gelegentlich auch als "binomische Ungleichung" bezeichnet.

Folgere mit ihrer Hilfe dann nachstehenden Sachverhalt:

${\displaystyle \left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\geq 8xyz,}$ wobei ${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {R} _{+}.}$

Lösungshinweis

Zum ersten Aufgabenteil: Du weißt, dass das Quadrat einer reellen Zahl stets nicht-negativ ist. Starte also mit ${\displaystyle {\left(a-b\right)}^{2}\geq 0.}$

Zum zweiten Aufgabenteil: Wende die binomische Ungleichung an mit ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ anstelle von ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle {\sqrt {y}}}$ anstelle von ${\displaystyle b.}$ Was folgt für ${\displaystyle x+y}$? Analog für ${\displaystyle y+z}$ und ${\displaystyle z+x.}$

Beweis

Es ist ${\displaystyle {\left(a-b\right)}^{2}\geq 0\quad bzw.\quad {a}^{2}-2ab+{b}^{2}\geq 0}$

Weiter gilt ${\displaystyle {a}^{2}-2ab+{b}^{2}\geq 0\Leftrightarrow {a}^{2}+{b}^{2}\geq 2ab\Leftrightarrow {\frac {1}{2}}\left({a}^{2}+{b}^{2}\right)\geq ab.}$

Schon bist du mit dem ersten Aufgabenteil durch.

Dem Hinweis folgend, halten wir fest: ${\displaystyle {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}\leq {\frac {1}{2}}\left(x+y\right)\quad bzw.\quad 2{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}\leq x+y.}$

Analog folgen die Beziehungen ${\displaystyle \ \quad 2{\sqrt {y}}{\sqrt {z}}\leq y+z\quad und\quad 2{\sqrt {z}}{\sqrt {x}}\leq z+x.}$

Somit gilt letztendlich ${\displaystyle \left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\geq {2}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}\cdot 2{\sqrt {y}}{\sqrt {z}}\cdot 2{\sqrt {z}}{\sqrt {x}}=8xyz.}$

Aufgabe 2

Zeige in einem ersten Schritt, dass für alle ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} _{+}}$gilt:

${\displaystyle {\frac {{x}^{2}}{x+y}}\geq {\frac {3x-y}{4}}.}$

Folgere mit Hilfe dieser Ungleichung dann die nachstehende:

${\displaystyle {\frac {{a}^{2}}{a+b}}+{\frac {{b}^{2}}{b+c}}+{\frac {{c}^{2}}{c+a}}\geq {\frac {1}{2}}\left(a+b+c\right),}$ wobei ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} _{+}.}$

Lösungshinweis

Zum erstem Abschnitt: Verwende ${\displaystyle x\leq y\Leftrightarrow y-x\geq 0}$.

Zum zweiten Abschnitt: Wende die Erkenntnis aus dem ersten Abschnitt auf jeden der Summanden ${\displaystyle {\frac {{a}^{2}}{a+b}},{\frac {{b}^{2}}{b+c}},{\frac {{c}^{2}}{c+a}}}$ an.

Beweis

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{x+y}}\geq {\frac {3x-y}{4}}\Leftrightarrow {\frac {{x}^{2}}{x+y}}-{\frac {3x-y}{4}}\geq 0.}$

Mit ${\displaystyle {\frac {{x}^{2}}{x+y}}-{\frac {3x-y}{4}}={\frac {4{x}^{2}-\left(3x-y\right)\left(x+y\right)}{4\left(x+y\right)}}={\frac {{\left(x-y\right)}^{2}}{4\left(x+y\right)}}\geq 0}$ (Zähler und Nenner sind beide positiv!) folgt die Behauptung.

Dem Lösungshinweis folgend, gelangst du schnell zur Lösung des zweiten Abschnitts:

${\displaystyle {\frac {{a}^{2}}{a+b}}+{\frac {{b}^{2}}{b+c}}+{\frac {{c}^{2}}{c+a}}\geq {\frac {3a-b}{4}}+{\frac {3b-c}{4}}+{\frac {3c-a}{4}}={\frac {2a+2b+2c}{4}}={\frac {1}{2}}\left(a+b+c\right).}$

Aufgabe 3

a) Zeige, dass für alle ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$ gilt:

${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}.}$

Da der Quotient ${\displaystyle {\left(a+b\right)}/{2}}$ als "arithmetisches Mittel" bezeichnet wird und der Wurzelterm ${\displaystyle {\sqrt {ab}}}$ als "geometrisches Mittel", heißt diese Beziehung die "Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel". Diese gibt es auch in allgemeinerer Form; hier begnügen wir uns mit der Version für zwei Zahlen.

b) Zeige, dass für alle ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} _{+}}$ gilt:

${\displaystyle {\frac {x}{y}}+{\frac {y}{x}}\geq 2.}$

Die Summe aus einem Quotienten und seinem Kehrwert ist also größer/gleich ${\displaystyle 2}$ (insofern hätte als Bedingung an ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ auch gelten können: ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} _{-}).}$ Mit ${\displaystyle y=1}$ folgt, dass die Summe aus einer beliebigen positiven Zahl und ihrem Inversen größer/gleich ${\displaystyle 2}$ ist.

c) Zeige, dass für alle ${\displaystyle a\in \mathbb {R} _{\geq 1},x\in \mathbb {R} _{>0}}$ gilt:

${\displaystyle {\frac {{a}^{x}+{a}^{{1}/{x}}}{2}}\geq a.}$

Lösungshinweis

Zu a): Nutze wieder die Tatsache, dass das Quadrat einer reellen Zahl nicht-negativ ist; steige ein mit ${\displaystyle {\left({\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}\right)}^{2}\geq 0.}$

Zu b): Verwende a)

Zu c): Verwende zuerst a) und anschließend b)

Beweis

a) ${\displaystyle {\left({\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}\right)}^{2}\geq 0}$, also ${\displaystyle x-2{\sqrt {xy}}+y\geq 0.}$

Dies ist äquivalent zu ${\displaystyle x+y\geq 2{\sqrt {xy}}}$ sowie ${\displaystyle {\frac {x+y}{2}}\geq {\sqrt {xy}}.}$

b) Setze die nicht-negativen Zahlen ${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$ und ${\displaystyle {\frac {y}{x}}}$ in die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ein: ${\displaystyle {\frac {{\frac {x}{y}}+{\frac {y}{x}}}{2}}\geq {\sqrt {{\frac {x}{y}}\cdot {\frac {y}{x}}}}=1\quad bzw.\quad {\frac {x}{y}}+{\frac {y}{x}}\geq 2.}$

c) ${\displaystyle {\frac {{a}^{x}+{a}^{{1}/{x}}}{2}}\geq {\sqrt {{a}^{x}{a}^{{1}/{x}}}}={\sqrt {{a}^{x+{1}/{x}}}}\geq {\sqrt {{a}^{2}}}=a.}$