DGL besitzt eindeutig definierte Lösung

Für welche Funktion ${\displaystyle x(t)}$ gilt ${\displaystyle x^{\prime }(t)=(t-x+3)^{2}}$ mit ${\displaystyle x(0)=0}$.

Lösung

Wir substituieren ${\displaystyle y(t)=t-x(t)+3}$ und erhalten

${\displaystyle y^{\prime }(t)=1-x^{\prime }(t)=1-(t-x(t)+3)^{2}=1-y(t)^{2}}$

mit dem neuen Anfangswert ${\displaystyle y(0)=0-x(0)+3=3}$. Mit Hilfe der Methode Trennung der Veränderlichen erhalten wir

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{y(0)}^{y(t)}{\frac {1}{1-{\tilde {y}}^{2}}}\,\mathrm {d} {\tilde {y}}&=\int _{0}^{t}\mathrm {d} {\tilde {t}}\\\left[{\frac {1}{2}}\ln \left(\left|{\frac {{\tilde {y}}+1}{{\tilde {y}}-1}}\right|\right)\right]_{y(0)=3}^{y(t)}&=\left[{\tilde {t}}\right]_{0}^{t}\\{\frac {1}{2}}\ln \left(\left|{\frac {y(t)+1}{y(t)-1}}\right|\right)-{\frac {1}{2}}\ln(2)&=t\\{\frac {1}{2}}\ln \left(\left|{\frac {y(t)+1}{y(t)-1}}\right|\right)&=t+{\frac {1}{2}}\ln(2)\\\ln \left(\left|{\frac {y(t)+1}{y(t)-1}}\right|\right)&=2t+\ln(2)\\{\frac {y(t)+1}{y(t)-1}}&=e^{2t+\ln(2)}\\{\frac {y(t)+1}{y(t)-1}}&=2e^{2t}\\y(t)+1&=2e^{2t}y(t)-2e^{2t}\\2e^{2t}+1&=(2e^{2t}-1)\cdot y(t)\\y(t)&={\frac {2e^{2t}+1}{2e^{2t}-1}}\\\end{aligned}}}$

Und wegen ${\displaystyle x(t)=-y(t)+t+3}$ erhalten wir

${\displaystyle x(t)={\frac {1+2e^{2t}}{1-2e^{2t}}}+t+3}$