Beweise, dass jede abgeschlossene Menge ${\displaystyle A}$ eines kompakten Raums ${\displaystyle X}$ kompakt ist.

Sei ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ein topologischer Raum und ${\displaystyle A}$ eine Teilmenge von ${\displaystyle X}$. Sei ${\displaystyle A^{\circ }=\left\{x\in X:x{\text{ ist innerer Punkt von }}A\right\}}$ das Innere und ${\displaystyle {\overline {A}}=\left\{x\in X:x{\text{ ist Ber}}{\ddot {\mathrm {u} }}{\text{hrungspunkt von }}A\right\}}$ der Abschluss von ${\displaystyle A}$. Man Beweise

1. ${\displaystyle A}$ ist genau dann offen, wenn ${\displaystyle A=A^{\circ }}$
2. ${\displaystyle A^{\circ }}$ ist offen
3. ${\displaystyle A}$ ist genau dann abgeschlossen, wenn ${\displaystyle A={\overline {A}}}$
4. ${\displaystyle {\overline {A}}}$ ist abgeschlossen
5. Der Rand ${\displaystyle \partial A}$ von ${\displaystyle A}$ ist abgeschlossen

Sei ${\displaystyle A}$ eine kompakte Menge eines Hausdorff-Raums ${\displaystyle X}$. Beweise, dass ${\displaystyle A}$ abgeschlossen ist.

Sei ${\displaystyle (X,d)}$ ein metrischer Raum und sei ${\displaystyle x\in X}$ sowie ${\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{+}}$ beliebig. Beweise, dass die folgende Menge ${\displaystyle B_{r}(x)}$ offen ist:

${\displaystyle B_{r}(x):=\{y\in X\,|\,d(y,x)<r\}}$

Beweise außerdem, dass folgende Mengen ${\displaystyle K_{r}(x)}$ und ${\displaystyle S_{r}(x)}$ abgeschlossen sind:

${\displaystyle K_{r}(x):=\{y\in X\,|\,d(y,x)\leq r\}}$

${\displaystyle S_{r}(x):=\{y\in X\,|\,d(y,x)=r\}}$

Sei ${\displaystyle (X,d)}$ ein metrischer Raum und ${\displaystyle x\in X}$ sowie ${\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{+}}$ beliebig. Sei ${\displaystyle {\overline {K_{r}(x)}}}$ der Abschluss des offenen Balls ${\displaystyle K_{r}(x):=\{y\in X\,|\,d(x,y)<r\}}$. Sei außerdem ${\displaystyle {\overline {K}}_{r}(x):=\{y\in X\,|\,d(x,y)\leq r\}}$ der abgeschlossene Ball um ${\displaystyle x}$ mit Radius ${\displaystyle r}$. Beweise

1. ${\displaystyle {\overline {K_{r}(x)}}\subseteq {\overline {K}}_{r}(x)}$
2. Ist ${\displaystyle X}$ ein normierter Raum mit ${\displaystyle \|\cdot \|}$ als Norm, so ist ${\displaystyle {\overline {K_{r}(x)}}={\overline {K}}_{r}(x)}$.
3. Es gibt metrische Räume ${\displaystyle X}$ mit einem Punkt ${\displaystyle x\in X}$ und einem Radius ${\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{+}}$, so dass ${\displaystyle {\overline {K_{r}(x)}}\neq {\overline {K}}_{r}(x)}$.