Analysis Folgen

Geometrische Folgen weisen einen konstanten Teiler ihrer Folgenglieder auf, d.h. der Quotient zweier Glieder einer geometrischen Folge ist immer gleich groß: ${\displaystyle {\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}=q}$. Jedes einzelne Glied lässt sich eindeutig aus dem Anfangsglied ${\displaystyle a_{1}}$ (bzw. einem bestimmten Glied, wenn das Anfangsglied nicht gegeben ist) und dem Quotienten ${\displaystyle q}$ bestimmen.

Bildungsregel

Die Bildungsregel einer geometrischen Folge ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ lautet:

${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}\cdot q.}$

Dies führt zu der Formel für das Glied ${\displaystyle a_{n}}$:

${\displaystyle a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}}$

So berechnet man:

${\displaystyle a_{2}=a_{1}\cdot q^{1}}$

${\displaystyle a_{3}=a_{1}\cdot q^{2}}$

usw.

Beispiel

Wie lautet das achte Glied einer geometrischen Folge mit dem Anfangsglied ${\displaystyle a_{1}={\tfrac {4}{5}}}$ und dem Quotienten ${\displaystyle q=2}$?

${\displaystyle a_{1}={\tfrac {4}{5}}}$

${\displaystyle \,q=2}$

Es folgt:

${\displaystyle a_{8}={\tfrac {4}{5}}\cdot 2^{7}={\tfrac {4}{5}}\cdot 128=102{,}4}$