Differenzierbarkeit für Funktionen auf Banachräumen

Seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ Banachräume, sei ${\displaystyle U\subset X}$ offen und sei ${\displaystyle f:U\rightarrow Y}$ eine Funktion. Dann heißt ${\displaystyle f}$ differenzierbar in ${\displaystyle x_{0}\in U}$, falls ein Operator ${\displaystyle A_{x_{0}}\in {\mathcal {L}}(X,Y)}$ und eine Funktion ${\displaystyle \varphi _{x_{0}}:U\rightarrow Y}$ existieren, so daß folgendes gilt:

1. ${\displaystyle \varphi _{x_{0}}}$ ist stetig in ${\displaystyle x_{0}}$ mit ${\displaystyle \varphi _{x_{0}}(x_{0})=0}$

2. Für alle ${\displaystyle x\in U}$ ist ${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+A_{x_{0}}(x-x_{0})+\varphi _{x_{0}}(x)\|x-x_{0}\|}$.

${\displaystyle f}$ heißt differenzierbar auf ${\displaystyle U}$, wenn ${\displaystyle f}$ differenzierbar in ${\displaystyle x_{0}}$ ist für alle ${\displaystyle x_{0}\in U.}$

Ist ${\displaystyle f}$ differenzierbar in ${\displaystyle x_{0}\in U}$, dann ist der Operator ${\displaystyle A_{x_{0}}\in {\mathcal {L}}(X,Y)}$ eindeutig bestimmt.

Sind nämlich ${\displaystyle A_{x_{0}},B_{x_{0}}\in {\mathcal {L}}(X,Y)}$ und sind ${\displaystyle \varphi _{x_{0}},\psi _{x_{0}}:U\rightarrow Y}$ stetig in ${\displaystyle x_{0}}$ mit ${\displaystyle \varphi _{x_{0}}(x_{0})=0=\psi _{x_{0}}(x_{0})}$ und ${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+A_{x_{0}}(x-x_{0})+\varphi _{x_{0}}(x)\|x-x_{0}\|}$ bzw. ${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+B_{x_{0}}(x-x_{0})+\psi _{x_{0}}(x)\|x-x_{0}\|}$ für ${\displaystyle x\in U}$, dann erhält man durch Subtraktion der Gleichungen nach Umstellen die Gleichung ${\displaystyle (A_{x_{0}}-B_{x_{0}})(x-x_{0})=(\psi _{x_{0}}(x)-\varphi _{x_{0}}(x))\|x-x_{0}\|}$ für alle ${\displaystyle x\in U}$. Ist nun ${\displaystyle y\in X}$ mit ${\displaystyle \|y\|=1}$, dann ist durch ${\displaystyle x_{n}:=x_{0}+{\frac {y}{n}}}$ eine Folge in ${\displaystyle X}$ definiert mit ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x_{0}}$. Setzt man nun ${\displaystyle x_{n}}$ für ${\displaystyle x}$ in obige Gleichung ein, erhält man ${\displaystyle (A_{x_{0}}-B_{x_{0}})\left({\frac {y}{n}}\right)=(\psi _{x_{0}}(x_{n})-\varphi _{x_{0}}(x_{n})){\frac {1}{n}}}$ und damit ${\displaystyle (A_{x_{0}}-B_{x_{0}})(y)=(\psi _{x_{0}}(x_{n})-\varphi _{x_{0}}(x_{n}))}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Durch Grenzübergang folgt nun mit der Stetigkeit der Funktionen ${\displaystyle \psi _{x_{0}}}$ und ${\displaystyle \varphi _{x_{0}}}$, daß ${\displaystyle (A_{x_{0}}-B_{x_{0}})(y)=\lim _{n\rightarrow \infty }(\psi _{x_{0}}(x_{n})-\varphi _{x_{0}}(x_{n}))=0}$. Also ist ${\displaystyle A_{x_{0}}(y)=B_{x_{0}}(y)}$ für alle ${\displaystyle y\in X}$ mit ${\displaystyle \|y\|=1}$. Für beliebiges ${\displaystyle 0\neq y\in X}$ folgt dann aus der Linearität der Operatoren ${\displaystyle A_{x_{0}}(y)=\|y\|A_{x_{0}}\left({\frac {y}{\|y\|}}\right)=\|y\|B_{x_{0}}\left({\frac {y}{\|y\|}}\right)=B_{x_{0}}(y)}$ und für ${\displaystyle y=0}$ ist die Gleichung trivial.

Der somit eindeutig bestimmte Operator ${\displaystyle A_{x_{0}}\in {\mathcal {L}}(X,Y)}$ wird meist mit ${\displaystyle \partial f(x_{0})}$ bezeichnet. Die Abbildung ${\displaystyle \partial f:x_{0}\mapsto \partial f(x_{0})}$ heißt Ableitung der Funktion ${\displaystyle f}$.

Beispiele:

1. Sei ${\displaystyle A\in {\mathcal {L}}(X,Y)}$ und sei ${\displaystyle f:X\rightarrow Y;x\mapsto f(x):=Ax}$. Dann ist ${\displaystyle f}$ differenzierbar auf ganz ${\displaystyle X}$ mit ${\displaystyle \partial f(x)=A}$ für alle ${\displaystyle x\in X}$. Dies folgt einfach aus der Linearität von ${\displaystyle A}$ wegen ${\displaystyle \!\ f(x)=Ax=Ax_{0}+A(x-x_{0})=f(x_{0})+A(x-x_{0})}$ für alle ${\displaystyle x,x_{0}\in X}$.

2. Sei ${\displaystyle y_{0}\in Y}$ fest und sei ${\displaystyle f:X\rightarrow Y;x\mapsto f(x):=y_{0}}$. Dann ist ${\displaystyle f}$ differenzierbar auf ganz ${\displaystyle X}$ mit ${\displaystyle \partial f(x)=0\in {\mathcal {L}}(X,Y)}$ für alle ${\displaystyle x\in X}$. Auch dies ist leicht einsehbar, da ${\displaystyle \!\ f(x)=y_{0}=f(x_{0})}$ für alle ${\displaystyle x,x_{0}\in X}$ gilt.

3. Seien ${\displaystyle X,Y,Z}$ Banachräume, sei ${\displaystyle U\subset X}$ offen, sei ${\displaystyle f:U\rightarrow Y}$ differenzierbar in ${\displaystyle x_{0}\in U}$ und sei ${\displaystyle A\in {\mathcal {L}}(Y,Z)}$. Dann ist auch die Abbildung ${\displaystyle A\circ f:U\rightarrow Z;x\mapsto Af(x)}$ differenzierbar in ${\displaystyle x_{0}}$ mit ${\displaystyle \partial (A\circ f)(x)=A\partial f(x)}$.

Aus ${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+\partial f(x_{0})(x-x_{0})+\varphi _{x_{0}}(x)\|x-x_{0}\|}$ folgt wegen Linearität von ${\displaystyle A}$ die Gleichung ${\displaystyle Af(x)=Af(x_{0})+A\partial f(x_{0})(x-x_{0})+A\varphi _{x_{0}}(x)\|x-x_{0}\|}$ und die Funktion ${\displaystyle A\varphi _{x_{0}}}$ ist stetig in ${\displaystyle x_{0}}$ als Komposition stetiger Funktionen mit ${\displaystyle A\varphi _{x_{0}}(x_{0})=0}$, also ist ${\displaystyle \partial (A\circ f)(x)=A\partial f(x)}$, d.h. ein Operator ${\displaystyle A}$, der nach der Funktion ${\displaystyle f}$ zur Anwendung kommt, kann aus der Ableitung „herausgezogen“ werden. Aber Vorsicht: Stehen ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle A}$ in umgekehrter Reihenfolge, folgt aus der Kettenregel: ${\displaystyle \partial (f\circ A)(x)=\partial f(Ax)A}$.

Differenzierbarkeit reeller Funktionen

Im Fall ${\displaystyle X=Y=\mathbb {R} }$ beachte, daß ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ isometrisch isomorph ist zu ${\displaystyle \mathbb {R} }$ vermöge der kanonischen Einbettung ${\displaystyle j:\mathbb {R} \rightarrow {\mathcal {L}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} );x\mapsto j_{x}}$ mit ${\displaystyle \!\ j_{x}(y)=xy}$ mit der Inversen ${\displaystyle j^{-1}:{\mathcal {L}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\rightarrow \mathbb {R} ;T\mapsto T(1)}$. Die Aussage „${\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {R} }$ ist differenzierbar in ${\displaystyle x_{0}\in U\subset \mathbb {R} }$“ bedeutet also die Existenz einer reellen Zahl ${\displaystyle m_{x_{0}}}$ sowie einer in ${\displaystyle x_{0}}$ stetigen Funktion ${\displaystyle \varphi _{x_{0}}:U\rightarrow \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle \varphi _{x_{0}}(x_{0})=0}$, so daß ${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+m_{x_{0}}\cdot (x-x_{0})+\varphi _{x_{0}}(x)|x-x_{0}|}$. Als Schreibweise hierfür wird auch ${\displaystyle \!\ f'(x_{0}):=m_{x_{0}}}$ verwendet, die Ableitung ${\displaystyle \partial f(x)}$ kann also wiederum als reelle Funktion aufgefaßt werden und wird mit ${\displaystyle \!\ f'}$ bezeichnet.