Analysis

Die Körperaxiome allein reichen noch nicht aus, um die reellen Zahlen vollständig zu charakterisieren. Es gibt viele verschiedene Körper, die keineswegs alle isomorph (äquivalent) sind. Deshalb werden wir unsere Definition durch weitere Axiome einschränken und so eine kleinere Unterklasse der Körper kennen lernen:

Definition: Ist ${\displaystyle \left(K,+,\cdot ,0,1\right)}$ ein Körper und ${\displaystyle K_{+}\subset K}$ eine Teilmenge (die positiven Körperelemente), die die Axiome (O1), (O2) und (O3) erfüllt, so heißt ${\displaystyle \left(K,+,\cdot ,0,1,K_{+}\right)}$ angeordneter Körper.

(O1)	Trichotomie:	${\displaystyle 0\notin K_{+}\wedge \forall x\in K\setminus \left\{0\right\}\left(x\in K_{+}\leftrightarrow -x\notin K_{+}\right)}$
(O2)	Abgeschlossenheit gegenüber der Addition:	${\displaystyle \forall x,y\in K_{+}}$ ${\displaystyle x+y\in K_{+}}$
(O3)	Abgeschlossenheit gegenüber der Multiplikation:	${\displaystyle \forall x,y\in K_{+}}$ ${\displaystyle x\cdot y\in K_{+}}$

Wir schreiben "${\displaystyle x>y}$" und "${\displaystyle y<x}$", falls ${\displaystyle x-y\in K_{+}}$. Ansonsten schreiben wir "${\displaystyle x\leq y}$" und "${\displaystyle y\geq x}$".